ГАРМОНІЯ ПРАВИЛЬНИХ МНОГОГРАННИКІВ
Постановка проблеми. На прикладі гармонії правильних многогранників можна довести, що вивчення геометрії може бути цікавим і не викликати особливих труднощів.
Мета. Ознайомлення з відомостями про правильні многогранники, про їх властивості та застосування у різних сферах життя.
Виклад основного матеріалу. Правильні многогранники здавна цікавили багатьох великих вчених. І ця цікавість виходила далеко за межі математики. Платон (427 до н.е. – 347 до н.е.) розглядав їх як основу побудови Всесвіту, Кеплер (1571-1630) намагався зв'язати правильні многогранники з рухом планет Сонячної системи (яких в його час було відомо всього п'ять). Можливо, саме краса та гармонія правильних многогранників змушувала великих вчених минулого припускати більш глибоке їх призначення, аніж просто геометричних фігур. [1]
Правильним многогранником називається многогранник, всі грані якого – правильні многокутники, всі плоскі кути якого рівні між собою. (Плоскими кутами многогранника називаються кути многокутників-граней, двогранними кутами многогранника називаються кути між гранями, які мають спільне ребро.) [1]
У тривимірному просторі існує рівно п'ять правильних многогранників: тетраедр, октаедр, куб (гексаедр), ікосаедр, додекаедр. Те, що інших многогранників не існує, було доведено Евклідом в його великих «Початках».
Тетраедром (з грец. Τετρά, в складних словах – чотири і έδρα – грань) називається правильний многогранник, який має 4 трикутні грані. У нього 4 вершини, 6 ребер. Оскільки грані тетраедра – правильні трикутники, його плоскі кути дорівнюють π/3. Двогранні кути тетраедра дорівнюють [2]
|
|
|
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
Рис 1 |
Візьмемо на серединах граней тетраедра по точці і з’єднаємо їх між собою відрізками. Ці відрізки рівні за довжиною і утворюють рівносторонні трикутники. Точки являються вершинами, відрізки – ребрами, а трикутники – гранями ще одного тетраедра. [1]
|
Рис 2 |
Аналогічна побудова виконується і в більш загальному випадку. Розглянемо будь-який випуклий многогранник і візьмемо точки на серединах його граней. З'єднаємо між собою точки сусідніх граней відрізками. Тоді точки будуть вершинами, відрізки – ребрами, а многокутники, які обмежують ці відрізки, гранями ще одного випуклого многогранника. Цей многогранник називається двоїстим до початкового. Збільшимо розміри тетраедра, вершинами якого є середини граней вихідного тетраедра, до розмірів останнього. Вісім вершин так розміщених тетраедрів - це вершини куба. [2]
Перетином цих тетраедрів є ще один правильний многогранник – октаедр. Октаедр має 8 трикутних граней, 6 вершин та 12 ребер. Плоскі кути октаедра дорівнюють π/3, оскільки його грані являються правильними трикутниками, двогранні кути дорівнюють [2]
|
Рис 3 |
Відмітимо середини граней октаедра і перейдемо до двоїстого до октаедра многогранника. Це – куб, або гексаедр. У куба грані являються квадратами. Він має 6 граней, 8 вершин, 12 ребер. Плоскі кути куба дорівнюють π/2, двогранні кути також дорівнюють π/2. [3]
|
Рис 4 |
Якщо взяти на середині граней куба точки і розглянути двоїстий до нього многогранник, то можна переконатись, що ним знову буде октаедр. Правильно і більш загальне ствердження: якщо для випуклого многогранника побудувати двоїстий, а потім двоїстий до двоїстого, то ним буде початковий многогранник. [1]
|
Рис 5 |
Візьмемо на ребрах октаедра по точці,
|
Рис 6 |
за умови, щоб кожна ділила ребро у відношенні (золотий переріз) і при цьому точки, які належать цій грані, являлись вершинами правильного трикутника. Отримані 12 точок являються вершинами ще одного правильного многогранника – ікосаедра. [1]
|
Рис 7 |
Ікосаедр – це правильний многогранник, у якого 20 трикутних граней. Він має 12 вершин і 30 ребер. Плоскі кути ікосаедра дорівнюють π/3, двогранні кути дорівнюють
[2]
Ікосаедр можна вписати в куб.
|
Рис 8 |
На кожній грані куба при цьому виявиться по дві вершини ікосаедра.
Середини граней ікосаедра є вершинами ще одного правильного многогранника – додекаедра. Грані додекаедра – правильні п’ятикутники.
|
Рис 9 |
Таким чином, його плоскі кути дорівнюють 3π/5. У додекаедра 12 граней, 20 вершин і 30 ребер. Двогранні кути додекаедра дорівнюють . Взявши середини додекаедра і перейшовши до двоїстого до нього многогранника, отримаємо знову ікосаедр. Тож ікосаедр та додекаедр двоїсті один до одного. Це ще раз ілюструє той факт, що двоїстий до двоїстого многогранник буде початковий многогранник. [3]
Помітимо, що при переході до двоїстого многогранника, вершини вихідного многогранника відповідають граням двоїстого, ребра – ребрам двоїстого, а грані – вершинам двоїстого многогранника. Якщо в ікосаедра 20 граней, то у двоїстого йому додекаедра 20 вершин і у них однакове число ребер, якщо у куба 8 вершин, то у двоїстого йому октаедра 8 граней.
Існують різні способи вписування правильних многогранників один в одного, які утворюють багато чудових конструкцій. Цікаві многогранники утворюються також при об’єднанні та перетині правильних многогранників. [2]
Правильні многогранники широко застосовуються у житті людини. Наведемо приклад: легко впевнитись, що вершини кожного з п’яти видів правильних многогранників, в тому числі й ікосаедра, лежать на кульовій поверхні. Дванадцять вершин ікосаедра – це максимальне число точок, які можна нанести на поверхню кулі так, щоб відстань між будь-якими двома сусідніми точками була однакова. Цю властивість ікосаедра застосувала одна з американських фірм для виготовлення баскетбольних м’ячів. На поверхні сферичної основи встановили 12 точок, рівномірно розділених по каркасу (вершини ікосаедра). Машина намотує нейлонові нитки по колам великих кругів, які проходять через кожну пару зазначених точок. Коли таке намотування буде повторено багато разів, причому, починаючи щоразу з різних пар точок, камера буде покрита цілком рівномірно, що забезпечить однакову міцність кожного її квадратного сантиметра. [4] У природі ми часто маємо справу з правильними многогранниками, але нечасто їх помічаємо. Наприклад, атоми деяких речовин мають форму правильних многогранників, зокрема атом метану має форму тетраедра (рис 10), кристал солі має форму куба (рис 11)
|
Рис 10 |
|
Рис 11 |
Крім цього, правильні многогранники зустрічаються і в біології. Німецький біолог початку XX століття Еге Геккель дослідив, що одноклітинні організми – феодарії точно передають форму ікосаедра (рис 12). [4]
|
Рис 12 |
Також можна зустріти правильні многогранники в мистецтві, зокрема всесвітньовідома картина Далі «Таємна вечеря», де дійство відбувається на фоні величезного прозорого додекаедра.
Висновки Краса і витонченість правильних многогранників цікавили і цікавлять не лише відомих вчених, а й звичайних учнів середніх шкіл. Правильні многранники використовуються у багатьох сферах, зокрема в хімії, біології, архітектурі тощо.
Анотація. В статті йдеться про правильні многогранники, їх властивості та використання.
Ключові слова: правильний многогранник, тетраедр, гексаедр, октаедр, ікосаедр, додекаедр.
Література
1. Кокстер. Г. С. М. Введение в геометрию/ Г. С. М. Кокстер.- М.: Наука, 1966 – 648с.
2. Адамар. Ж. Елементарна геометрія. Стереометрія / Ж. Адамар. – М.: ОНТІ, 1951. – 760с.
3. Велика радянська енциклопедія / за ред. А.М. Прохорова. – М.: 1979.
4. Талалай. П. Г. Начертательная геометрия на примерах / П. Г. Талалай. – СПб.: БХВ-Петербург, 2010. – 608с.
Автор: Пугач Олена Сергіївна
Методичний пошук. Геометричні етюди // Студентський науково-методичний збірник. Випуск 4. - Вінниця: ФОП Легкун В.М., 2014. - 394с.