Правильні і напівправильні многогранники

Правильні і напівправильні многогранники

(платоновы і архимедовы тіла)

Дамо визначення правильного многогранника: правильним многогранником є опуклий многогранник, у якого двогранні кути при всіх вершинах рівні між собою, а грані є рівними правильними багатокутники.Можна також довести, що в кожній з вершин правильного многогранника сходиться одне і те ж число граней і одне і те ж число ребер.

Взагалі прийнято вважати, що в природі існує п'ять правильних многогранників.

Цю кількість можна вважати незначною в порівнянні з кількістю правильних багатокутників, тобто для кожного цілого n>2 існує один правильний n-косинець

Назву правильних многогранників визначає число їх граней: тетраедр (4 грануй), гексаедр (6 граней), октаедр (8 граней), додекаедр (12 граней) і ікосаедр (20 граней). З грецького "хедрон" переводиться як грань, "тетра", "гекса" і т.д. – вказані числа граней. Грані тетраедра, октаедра і ікосаедра – правильні трикутники, куба - квадрати, додекаедра – правильні п'ятикутники.

Такі многогранники є симетричними тобто для будь-якого на угад вибраного ребра AB і примикає до нього грануй F можна так повернути многогранник, що ребро AB перейде в будь-якій відмінне від нього ребро CD, точка A – в будь-який його кінець (C або D), а грань F співпаде з однією з двох граней, що примикають до нього. Подібних поворотів всього існує 4P, де P – число ребер многогранника. Причому половина з них – повороти навколо уявних осей, що сполучають центр многогранника з його вершинами, серединами ребер і граней на кути, кратні відповідно 2? / q ? і 2? / p, а інша половина – симетрії щодо площин і "дзеркальні повороти". Дану "властивість максимальної симетричності" часто беруть як за визначення правильного многогранника.

Позначимо кількість кутів однієї грані за q, а кількість граней, що сходяться в одній вершине, – за p, тоді не складно отримати точні характеристики кожного правильного многогранника: (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3) (перше число – q, друге, – p). Але слід пам'ятати, що у куба, октаедра, ікосаедра і додекаедра, тетраедр, p і q є переставленими. Такі многогранники зазвичай називають подвійними, кількість ребер у яких однакова.

Якщо попорпатися в історії, то кубу можна дати таке визначення: "батько" всіх правильних многогранників. На основі куба можна побудувати всі інші види правильних многогранників

Вершинами октаедра є центри граней куба, а якщо провести в протилежних гранях куба діагоналі, що схрещуються, то їх кінці виявляться вершинами тетраедра. Отримані багатокутники виявляються дійсно правильні, оскільки їх грані – правильні трикутники. Це витікає з того, що при повороті куба ребро многогранника можна перевести в будь-яке інше.

Для побудови ікосаедра необхідно на кожній грані куба побудувати відрізок довжиною x, причому так, щоб він був обов'язково паралельний двом сторонам своєї грані і перпендикулярний таким же відрізкам на сусідніх гранях. І враховувати те, що середина повинна співпадати з центром грануй. З'єднавши кінці цих відрізків отримаємо двадцятигранник, грануй якого – трикутники, і при кожній вершине їх п'ять. Визначимо таке число x, при якому всі ребра цього многогранника рівні. Куб симетричний, означає всі ребра, що не належать граням куба рівні між собою. Позначимо довжину ребра куба за а . Розглянемо трикутник ABC (мал. 2), де AC = а – x, BC 2 = CD 2 + BD 2 = 1/4 а 2 + 1/4 x 2 . По теоремі Піфагора отримуємо: AB 2 = AC 2 + CB 2 = ( x 2 + а 2 + (а – x) 2 ) / 4 . Прирівнявши AB до x, отримуємо квадратне рівняння: x 2 + а x – а 2 = 0, звідки x = а ( Ц 5 – 1) / 2 . Отриманий множник при а є не що інше, як золотий перетин.

Наступний доказ присвятимо рівності двогранних кутів. Необхідно розглянути 5 ребер, що виходять з точки A. Кінці їх рівновіддалені як від точки A, так і від центру куба O. Це свідчить про те, що вони лежать на перетині двох сфер з центрами A і O, а значить – і на колі, причому ребра, що сполучають їх з точкою A, рівні. Звідси слідує що, ці п'ять крапок і крапка а – вершины правильної піраміди, а її двогранні кути при вершине рівні.

Додекаедр з ікосаедра отримують так само з куба., шляхом сполучаючи середини суміжних граней ікосаедра. Загальна кількість подібних п'ятикутників числено дорівнює 12. Двогранні кути рівні, оскільки тригранні кути при його вершинах мають рівні плоскі кути.

З давніх часів, ще до століть Платона, і по сьогоднішній день правильні многогранники називають Платоновимі тілами. Платон пов'язав правильні багатокутники з чотирма стихіями: тетраедр - вогонь, куб – земля, октаедр – повітря, ікосаедр – вода, додекаэдр- п'ята стихія – ефір.

13 тіл, отриманих при усіканні правильних многогранників і два нескінченні ряди правильних призм і антипризм з рівними ребрами можна пов'язати із знаменитим ученим, ім'я якого всім відоме –Архимед.

Учені ще в епоху відродження порівнювали правильні многогранники з будовою Всесвіту. Наприклад Іоганн Кеплер з більшою або меншою точністю розмістив між сферами, що містять орбіти шести відомих планет, правильні многогранники таким чином, що кожен був описаний біля меншої сфери і вписаний у велику. Ім'я Кеплера в геометрії прославлене відкриттям два з чотирьох правильних зоряних тіл. Два інших в 1809 р. знайшов француз Луї Пуансо.

Інформація з сайту: https://referat.gb7.ru/index.php/biologiya/ekonomika/geometriya/299-pravilni-i-napivpravilni-mnogogranniki-platonovy-i-arkhimedovy-tila-damo-viznachennya-pravilnogo-mnogogrannika-pravilnim-mnogogrannikom-e-opuklij-mnogogrannik-u-yakogo-dvogranni-kuti-pri-vsikh-vershinakh-rivni-mizh-soboyu-a-grani-e-rivnimi-pravilnimi-baga