Урок №1
Тема навчального проекту. Правильні многогранники.
Мета проекту:
- сформувати в учнів поняття про елемент правильних многогранників;
- виробляти вміння знаходити математичні закономірності в навколишньому світі;
- розвивати компетентності саморозвитку і самоосвіти, інформаційні та комунікативні компетентності продуктивної творчої діяльності.
Тип проекту. Дослідницький.
Вид проекту. Міжпредметний (історія, біологія, образотворче
мистецтво).
Форма захисту. Урок-презентація (розробка уроку додається).
Тривалість. Короткочасний.
Склад учасників. Груповий (11 клас).
Етапи проекту:
- підготовчий;
- діяльнісний;
- рефлексійний.
Тема уроку. Правильні многогранники.
Мета. Домогтися засвоєння учнями означення правильного многогранника та п’яти видів правильних многогранників; сформувати в учнів поняття про елементи правильних многогранників; вдосконалювати навички розв’язування задач про правильні многогранники на основі знань про многогранні кути, симетрію правильних многогранників та властивості куба; розвивати творчу активність учнів, створювати умови для вияву ініціативи учнів під час вибору завдань; виховувати в учнів прагнення до самовдосконалення, задоволення пізнавальних потреб.
Обладнання. Моделі правильних многогранників, слайди про многогранники, плакати з розв’язаними задачами.
Форма проведення. Урок-презентація.
Епіграф. Правильних многогранників надзвичайно мало,
але цей дуже скромний за кількістю загін зумів
пробитись у найбільші глибини різних наук.
Л.Керролл
І. Мотивація навчальної діяльності
Вступне слово вчителя. Жодне геометричне тіло не має такої довершеності та краси, як правильні многогранники. «Правильних многогранників так мало, написав колись Льюїс Керролл, - але цей скромний за кількістю загін зумів увійти в самі глибини різних наук». Льюїс Керролл –англійський письменник, математик, філософ та фотограф. Найбільш відомі його роботи – «Аліса в Країні чудес» і «Аліса в Задзеркаллі».
Сьогодні на уроці ми ознайомимося з поняттям правильних многогранників, їх видами та елементами. Знайдемо правильні многогранники у природі.
ІІ. Вивчення нового матеріалу
У курсі планіметрії ви познайомилися з правильними многокутниками. Многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути рівні. Існує безліч правильних многокутників.
Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією ж кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер.
Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників:
- правильний тетраедр;
- правильний гексаедр (куб);
- правильний октаедр;
- правильний додекаедр;
- правильний ікосаедр.
Існує тільки п’ять правильних многогранників. Чому?
ІІІ. Повідомлення учнів
1-й учень. Підтвердити це можна за допомогою розгортки опуклого многогранного кута.
Насправді, щоб отримати який-небудь правильний многогранник, згідно визначення, в кожній вершині має сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним многокутником. Сума плоских кутів многогранного кута повинна бути менше 360о. Нехай k – число плоских кутів, які сходяться в одній вершині многогранника. Перебираючи всі можливі цілі розв’язки нерівностей: 60 k < 360, 90 k < 360, 108 k < 360, можна довести, що правильних многогранників лише п’ять.
А як визначити кількість граней, вершин та ребер?
2-й учень. Цим питанням займався знаменитий математик Л.Ейлер.
У правильного тетраедра грані – правильні трикутники, у кожній вершині збігається по три ребра.
Тетраедр – трикутна піраміда, усі ребра якої рівні.
У куба всі грані – квадрати, у кожній вершині збігається по три ребра.
Куб – прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами.
В октаедра грані – правильні трикутники, у кожній вершині збігається по чотири ребра.
У додекаедра грані – правильні п’ятикутники, у кожній його вершині збігається по три ребра.
В ікосаедра грані – правильні трикутники, у кожній його вершині збігається по п’ять ребер.
ІV. Розв’язування вправ
1. Знайдіть суму плоских кутів при всіх вершинах:
а) ікосаедра; б) додекаедра (а) 3600о, б) 6480о).
2. Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайдіть відстань між двома протилежними вершинами. (Відповідь: а 
).
3. Під яким кутом із центра правильного октаедра видно його ребро? (Відповідь. 90о).
У 13 книзі «Начал» Евкліда є доведення того факту, що існує всього п’ять видів правильних многогранників.
Архімеду належить відкриття 13-ти так званих напівправильних многогранників («архімедових тіл»), кожний з яких обмежений не однойменними правильними многокутниками і в яких рівні многогранні кути та однойменні многокутники, причому в кожній вершині сходиться одне й те саме число однакових граней. Кожне з таких тіл може бути вписане в сферу.
V. Цікаві повідомлення
1-й учень. Правильним многогранникам присвячена 13-та книга «Начал» Евкліда. Їх ще називають тілами Платона, так як вони займали особливе місце в філософії Платона про будову світогляду Тетраедр символізував вогонь, ікосаедр – воду, гексаедр – землю, октаедр – повітря. Додекаедр символізував увесь світогляд і рахувався головним. Гармонійні стосунки древні греки вважали основою світогляду, тому чотири стихії були пов’язані такою пропорцією: земля/вода = повітря/вогонь.
Форму додекаедра Платон надавав усьому Всесвіту. Саме тому на репродукції картини С.Далі «Тайна вечеря» зображено Ісуса Христа зі своїми учнями на фоні величезного прозорого додекаедра.
2-й учень. Саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів, в їх спірних питаннях щодо форми вірусів. Вірус не може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні многогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що й потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один многогранник дає таку ж тінь – це ікосаедр. Його геометричні властивості дозволяють економити генетичну інформацію.
Ікосаедр за формою нагадує скелет одноклітинного організму феод арії.
Ікосаедр має найбільший об’єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск води.
3-й учень. Німецький астроном і математик І.Кеплер припустив, що існує зв'язок між п’ятьма правильними многогранниками і шістьма відкритими на той час планетами Сонячної системи. Згідно цьому припущенню в сферу орбіти Сатурна можна вписати куб, в який вписується сфера орбіти Юпітера. В неї, у свою чергу, вписується тетраедр, описаний навколо сфери орбіти Марса. У сферу орбіти Марса вписується додекаедр, в який вписується сфера орбіти Землі. А вона описана навколо ікосаедра. В який вписана сфера орбіти Венери. Сфера цієї планети описана навколо октаедра, в який вписується сфера Меркурія.
Така модель Сонячної системи отримала назву «Космічного кубка» Кеплера.
VІ. Підсумок уроку
1. Порівняйте свої знання на початку уроку і в кінці.
2. Розвитку яких рис характеру сприяв урок (самостійності, спостережливості, відповідальності)?
3. Які пізнавальні процеси були задіяні на уроці найбільше (мислення, пам'ять, увага, уява)?
4. Якого життєвого досвіду ви набули (володіти собою, захищати свої знання, бути впевненими в собі, поводити себе в незвичних умовах тощо)?
5. Чи отримали ви задоволення від власної праці? Чи вичерпали ви свої можливості? Чи є бажання повторити сьогоднішні відчуття?
6. Охарактеризуйте свій емоційний стан протягом уроку (хвилювались, боялись, дивувались, зосереджувались) та в кінці уроку (задоволені, виснажені, впевнені, раді, успішні).
Домашнє завдання
(Середній та достатній рівень)
Задача 1. Площа поверхні правильного ікосаедра дорівнює 360 см2. Знайдіть площу однієї грані та ребро ікосаедра.
Задача 2. Скільки ребер може виходити з вершини правильного многогранника? (Розгляньте на прикладах).
Задача 3. Знайдіть об’єм правильного тетраедра, площа поверхні якого дорівнює 12 дм2.
(Високий рівень)
Задача 1. Основою піраміди є грань куба, а вершиною – його центр. Знайдіть об’єм піраміди, якщо ребро куба дорівнює 3 см.
Задача 2. Під яким кутом з центра куба видно його ребро?
ЛІТЕРАТУРА
1. Бевз, Г. П. Математика: 11 клас [Текст]: підруч. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Генеза, 2011. – 320 с.
2. Погорєлов, О. В. Геометрія: 7-11 клас [Текст]: підруч. / О. В. Погорєлов. – К.: Освіта, 1992. – 351 с.
3. Роганінг, О. М. Геометрія в таблицях і схемах [Текст]: посібник / О. М. Роганінг – Х.:Торсінг плюс, 2010. – 96
Солодченко, Л. Розвиток життєвих компетентностей на уроках математики [Текст]: посібник / Л. Солодченко. – Тернопіль-Х.: Ранок, 2011.